已知函数f(x)=ax3-32(a+2)x2+6x-3.(1)当a>2时,求函数f(x)的极小值;(2)试讨论曲线y=f(x)与x轴的公共点的个数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=ax3-32(a+2)x2+6x-3.(1)当a>2时,求函数f(x)的极小值;(2)试讨论曲线y=f(x)与x轴的公共点的个数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=ax3-
3
2
(a+2)x2+6x-3

(1)当a>2时,求函数f(x)的极小值;
(2)试讨论曲线y=f(x)与x轴的公共点的个数.
题型:解答题难度:中档来源:甘肃模拟

答案

(1)f′(x)=3ax2-3(a+2)x+6=3a(x-class="stub"2
a
)(x-1)

∵a>2,∴class="stub"2
a
<1

∴当x<class="stub"2
a
或x>1时,f'(x)>0;
class="stub"2
a
<x<1
时,f'(x)<0
∴f(x)在(-∞,class="stub"2
a
)
,(1,+∞)内单调递增,在(class="stub"2
a
,1)
内单调递减
故f(x)的极小值为f(1)=-class="stub"a
2

(2)①若a=0,则f(x)=-3(x-1)2
∴f(x)的图象与x轴只有一个交点.
②若a<0,则class="stub"2
a
<1

∴当x<class="stub"2
a
或x>1
时,f'(x)<0,
class="stub"2
a
<x<1
时,f'(x)>0
∴f(x)的极大值为f(1)=-class="stub"a
2
>0

∵f(x)的极小值为f(class="stub"2
a
)<0

∴f(x)的图象与x轴有三个公共点.
③若0<a<2,则class="stub"2
a
>1

∴当x<1或x>class="stub"2
a
时,f'(x)>0,
class="stub"2
a
<x<1
时,f'(x)<0
∴f(x)的图象与x轴只有一个交点
④若a=2,则f'(x)=6(x-1)2≥0
∴f(x)的图象与x轴只有一个交点
⑤当a>2,由(1)知f(x)的极大值为f(class="stub"2
a
)=-4(class="stub"1
a
-class="stub"3
4
)2-class="stub"3
4
<0
,函数图象与x轴只有一个交点.
综上所述,若a≥0,f(x)的图象与x轴只有一个公共点;
若a<0,f(x)的图象与x轴有三个公共点.

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