首页 > 已知函数f（x）=（x2+bx+c）e2，其中b，c∈R为常数．（I）若b2＞4c-1，讨论函数f（x）的单调性；（II）若b2≤4（c-1），且limx→∞f(x)-cx=4，试证：-6≤b≤2．-

已知函数f（x）=（x2+bx+c）e2，其中b，c∈R为常数．（I）若b2＞4c-1，讨论函数f（x）的单调性；（II）若b2≤4（c-1），且limx→∞f(x)-cx=4，试证：-6≤b≤2．-

题目简介

已知函数f（x）=（x2+bx+c）e2，其中b，c∈R为常数．（I）若b2＞4c-1，讨论函数f（x）的单调性；（II）若b2≤4（c-1），且limx→∞f(x)-cx=4，试证：-6≤b≤2．-

题目详情

已知函数f（x）=（x2+bx+c）e2，其中b，c∈R为常数．
（I）若b2＞4c-1，讨论函数f（x）的单调性；
（II）若b2≤4（c-1），且
lim
x→∞
f(x)-c
x
=4，试证：-6≤b≤2．
题型：解答题难度：中档来源：重庆

答案

（I）求导得f′（x）=[x2+（b+2）x+b+c]e2
因b2＞4（c-1）．故方程f′（x）=0即x2+（b+2）x+b+c=0有两根．
x1=-class="stub"b+2
2
-
b2-4(c-1)
2
＜x2=-class="stub"b+2
2
+
b2-4(c-1)
2

令f′（x）＞0．解得x＜x1或x＞x2
又令f′（x）＜0．解得x1＜x＜x2
故当x∈（-∞，x1）时，f（x）是增函数；当x∈（x2，+∞）时，f（x）也是增函数；
但当x∈（x1，x2）时，f（x）是减函数
（II）易知f（0）=c，f'（0）=b+c，因此
lim
x→∞
f(x)-c
x
=
lim
x→∞
f(x)-f(0)
x
=f′(0)=b+c
所以，由已知条件得
b+c=4
b2≤4(c-1)
，因此b2+4b-12≤0
解得-6≤b≤2．

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