已知函数(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;(II)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.-高二数学

题目简介

已知函数(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;(II)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.-高二数学

题目详情

已知函数
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;
(II)若在区间[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:北京期中题

答案

解:(I)因为
当a=1,,令f '(x)=0,得x=1,
又f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x),f(x)随x的变化情况如下表:

所以x=1时,f(x)的极小值为1.
f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1);
(II)因为,且a≠0,
令f '(x)=0,得到,若在区间[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<0成立,
其充要条件是f(x)在区间[1,e]上的最小值小于0即可.
(1)当,即a<0时,f '(x)<0对x∈(0,+∞)成立,
所以,f(x)在区间[1,e]上单调递减,
故f(x)在区间[1,e]上的最小值为
,得,即
(2)当,即a>0时,
①若,则f '(x)≤ 0对x∈[1,e]成立,所以f(x)在区间[1,e]上单调递减,
所以,f(x)在区间[1,e]上的最小值为
显然,f(x)在区间[1,e]上的最小值小于0不成立
②若,即时,则有

所以f(x)在区间[1,e]上的最小值为,由,得1﹣lna<0,解得a>e,
即a∈(e,+∞).
由(1)(2)可知:符合题意.

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