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已知不等式12+13+…+1n＞12[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足a1=b（b＞0），an≤nan-1n+an-1

题目简介

已知不等式12+13+…+1n＞12[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足a1=b（b＞0），an≤nan-1n+an-1

题目详情

已知不等式
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞
1
2
[log2n]，其中n为大于2的整数，[log2n]表示不超过log2n的最大整数．设数列{an}的各项为正，且满足a1=b（b＞0），an≤
nan-1
n+an-1
，n=2，3，4，…．证明：an＜
2b
2+b[log2n]
，n=3，4，5，…．
题型：解答题难度：中档来源：湖北

答案

证明：设f（n）=class="stub"1
2
+class="stub"1
3
+class="stub"1
n
，首先利用数学归纳法证不等式an＜class="stub"b
1+f(n)b
，n=3，4，5．
（ⅰ）当n=3时，由a3≤
3a2
3+a2
=class="stub"3
class="stub"3
a2
+1
≤class="stub"3
3•
2+a1
2a1
+1
=class="stub"b
1+f(3)b
，知不等式成立．
（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即ak＜class="stub"b
1+f(n)b
，则ak+1≤
(k+1)ak
(k+1)+ak
=class="stub"k+1
class="stub"k+1
ak
+1
＜class="stub"k+1
(k+1)•
1+f(k)b
b
+1
=
(k+1)b
(k+1)+(k+1)f(k)b+b
=class="stub"b
1+(f(k)+class="stub"1
k+1
)b
=class="stub"b
1+f(k+1)b

即当n=k+1时，不等式也成立．
由（ⅰ）（ⅱ）知，an＜class="stub"b
1+f(n)b
，n=3，4，5．．
又由已知不等式得an＜class="stub"b
1+class="stub"1
2
[log2n]b
=class="stub"2b
2+b[log2n]
，n=3，4，5，…

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