将如图所示的边长为a的等边三角形铁片,剪去三个四边形,做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x)。(1)写出函数V(x)的解析式,并求出函数的定义-高二数学

题目简介

将如图所示的边长为a的等边三角形铁片,剪去三个四边形,做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x)。(1)写出函数V(x)的解析式,并求出函数的定义-高二数学

题目详情

将如图所示的边长为a的等边三角形铁片,剪去三个四边形,做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝),设容器的高为x,容积为V(x)。
(1)写出函数V(x)的解析式,并求出函数的定义域;
(2)求当x为多少时,容器的容积最大?并求出最大容积。

题型:解答题难度:中档来源:同步题

答案

解:(1)因为容器的高为x,则做成的正三棱柱形容器的底边长为

函数的定义域为
(2)实际问题归结为求函数V(x)在区间上的最大值点,
先求V(x)的极值点,在开区间内,
令V′(x)=0,即,解得,x2=(舍去),
因为在区间内,x1可能是极值点,
当0<x<x1时,V′(x)>0;
时,V′(x)<0,
因为x1是极大值点,且在区间内,x1是唯一的极值点,
所以是V(x)的最大值点,并且最大值为
即当正三棱柱形容器高为时,容器的容积最大为

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