有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形-高三数学
解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4﹣2x，高为x，∴V1=（4﹣2x）2 x=4（x3﹣4x2+4x）（0＜x＜2）．∴V1'=4（3x2﹣8x+4）．令V1'=0，得x1=，x2=2（舍去）．而V1'=12（x﹣）（x﹣2），又当x＜时，V1'＞0；当＜x＜2时，V1'＜0，∴当x=时，V1取最大值．（2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器．新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2＞V1．故第二种方案符合要求．
题目简介
有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）．有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形-高三数学
题目详情
（1）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；
（2）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2＞V1．
答案
解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4﹣2x，高为x，![]()
x=4（x3﹣4x2+4x）（0＜x＜2）．![]()
，x2=2（舍去）．![]()
）（x﹣2），又当x＜![]()
时，V1'＞0；![]()
＜x＜2时，V1'＜0，![]()
时，V1取最大值![]()
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∴V1=（4﹣2x）2
∴V1'=4（3x2﹣8x+4）．
令V1'=0，得x1=
而V1'=12（x﹣
当
∴当x=
（2）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；
如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；
如图③，将图②焊成长方体容器．新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2＞V1．故第二种方案符合要求．