已知函数．（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．-高三数学

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已知函数．
（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；
（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．

题型：解答题难度：偏难来源：福建省模拟题

答案

解：（Ⅰ）当时，，其定义域是
∴
令，即，
解得或．
，
∴舍去．
当时，；当时，．
∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．
当时，，即．
∴ 函数只有一个零点．
（Ⅱ）显然函数的定义域为
∴
①当时，在区间上为增函数，不合题意
② 当时，等价于，
即的单调递减区间为．依题意，得解之得．
③  当时，等价于，
即的单调递减区间为，
∴     得，实数的取值范围是
法二：
①当时，在区间上为增函数，不合题意
②当时，要使函数在区间上是减函数，只需在区间上恒成立，
只要恒成立，

解得或，实数的取值范围是

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已知函数．（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．-高三数学

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