首页 > 已知抛物线x2=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF=λFB(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M（1）证明线段FM被x轴平分；（2）计算FM•AB的值；（3）求证|FM

已知抛物线x2=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF=λFB(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M（1）证明线段FM被x轴平分；（2）计算FM•AB的值；（3）求证|FM

题目简介

已知抛物线x2=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF=λFB(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M（1）证明线段FM被x轴平分；（2）计算FM•AB的值；（3）求证|FM

题目详情

已知抛物线x2=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
AF
=λ
FB
(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M
（1）证明线段FM被x轴平分；       
（2）计算
FM
•
AB
的值；
（3）求证|FM|2=|FA|•|FB|．
题型：解答题难度：中档来源：宁波模拟

答案

证明：（1）设A(x1，
x21
8
)，B(x2，
x22
8
)，由y=
x2
8
得y′=class="stub"x
4

直线AM的方程为：y-
x21
8
=
x1
4
(x-x1)
直线BM的方程为：y-
x22
8
=
x2
4
(x-x2)
解方程组得x=
x1+x2
2
，y=
x1x2
8
即M（
x1+x2
2
，
x1x2
8
）（3分） 
由已知
AF
=λ
FB
(λ＞0)可得A，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2
与抛物线方程x2=8y联立消y可得：x2-8kx-16=0
∴x1+x2=8k，x1x2=-16（5分）
∴
x1x2
8
=-2即M点的纵坐标为-2，
∵F（0，2）
所以线段FM中点的纵坐标O
即线段FM被x轴平分．                 （6分）
解（2）∵F（0，2），M（4k，-2），A(x1，
x21
8
)，B(x2，
x22
8
)，
∴
FM
=(4k，-4)，
AB
=(x2-x1，
x22
-
x21
8
)
∴
FM
•
AB
=4k(x2-x1)-
(x2-x1)(x2+x1)
2

=(x2-x1)(4k-
x1+x2
2
)=0   （9分）
证明：(3)∵
AM
=(
x2-x1
2
，-2-
x21
8
)  
BM
=(
x1-x2
2
，-2-
x22
8
)
∵
AM
•
BM
=-
(x1-x2)2
4
+(2+
x21
8
)(2+
x22
8
)=
x1x2
2
+4+
x21
x22
64
=-8+4+4=0（13分）
∴
AM
⊥
BM
，而 MF⊥AB所以在直角△MAB中，
由影射定理即得|FM|2=|FA|•|FB|（15分）

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