已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4．（1）若f（x）在处取得极值，求实数a的值；（2）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；（3）若存

题目简介

题目详情

已知函数f（x）=﹣x³+ax²﹣4．
（1）若f（x）在处取得极值，求实数a的值；
（2）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3）若存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，求实数a的取值范围．

题型：解答题难度：偏难来源：四川省月考题

答案

（1）f'（x）=﹣3x2+2ax，
由题意得，解得a=2，
经检验满足条件．
（2）由（1）知f（x）=﹣x3+2x2﹣4，f'（x）=﹣3x2+4x，
令f'（x）=0，则x1=0，（舍去）．
f'（x），f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
∴f（x）极小值=f（0）=﹣4，
如图构造f（x）在[﹣1，1]上的图象．

又关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，
则﹣4＜m≦3，即m的取值范围是（﹣4，﹣3]．
（3）解法一：因存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，
故只需要f（x）的最大值f（x）max＞0即可，
∴f（x）=﹣x3+ax2﹣4，
∴．
①若a≦0，则当x＞0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
∵f（0）=﹣4＜0，∴当x＞0时，f（x）＜﹣4＜0，
∴当a≦0时，不存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立．
②当a＞0时f（x），f'（x）随x的变化情况如下表：

∴当x∈（0，+∞）时，，
由得a＞3．
综上得a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）．
解法二：根据题意，只需要不等式f（x）＞0在（0，+∞）上有解即可，
即﹣x3+ax2﹣4＞0在（0，+∞）上有解．
即不等式在（0，+∞）上有解即可．
令，只需要a＞g（x）min
而，
当且仅当，即x=2时“=”成立．
故a＞3，即a的取值范围是（3，+∞）。

上一篇 : 已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）ex定义域为[
下一篇 : 已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f

已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4．（1）若f（x）在处取得极值，求实数a的值；（2）在（Ⅰ）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；（3）若存

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐