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某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格.销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比.已知商品单价降-高三数学
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某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格.销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比.已知商品单价降-高三数学
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某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格.销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
(Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;
(Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
题型:解答题
难度:中档
来源:河南省模拟题
答案
解:(Ⅰ)设商品降价x元,则多卖的商品数为kx2,
若记商品在一个星期的获利为f(x),
则依题意有f(x)=(30﹣x﹣9)(432+kx2)=(21﹣x)(432+kx2),
又由已知条件,24=k
22,于是有k=6,
所以f(x)=﹣6x3+126x2﹣432x+9072,x∈[0,30].
(Ⅱ)根据(Ⅰ),我们有f '(x)=﹣18x2+252x﹣432=﹣18(x﹣2)(x﹣12).
∴当x=12时,f(x)达到极大值.
因为f(0)=9072,f(12)=11264,
所以定价为30﹣12=18元能使一个星期的商品销售利润最大.
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