已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数（1）求k的值（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，且g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒

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已知函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
（1）求k的值
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，且g（x）≤t²+λt+1在
x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围
（3）讨论关于x的方程的根的个数．

题型：解答题难度：偏难来源：天津月考题

答案

解：（1）因为函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，
所以f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，
则ln（e0+k）=0解得k=0，
显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；
（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，
因为g（x）在[﹣1，1]上单调递减，
∴g'（x）=λ+cosx≤0  在[﹣1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，g（x）max=g（﹣1）=﹣1﹣sin1，
只需-λ-sin1≤t2+λt+1（λ≤﹣1），
∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，
令h（λ）=（t+1）+t2+sin1+1（λ≤﹣1）
则解得t≤﹣1
（3）由（1）得f（x）=x
∴方程转化为=x2-2ex+m，
令F（x）=（x＞0），G（x）=x2-2ex+m  （x＞0），
∵F'（x）=，令F'（x）=0，即=0，得x=e
当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；
当x=e时，F（x）max=F（e）=
而G（x）=（x﹣e）2+m﹣e2   （x＞0）
∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；
当x=e时，G（x）min=m﹣e2
∴当m﹣，即m＞时，方程无解；
当m﹣，即m=时，方程有一个根；
当m﹣，即m＜时，方程有两个根；

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已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数（1）求k的值（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，且g（x）≤t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒

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