过抛物线x2=2y上两点A(-1,12)、B(2,2)分别作抛物线的切线,两条切线交于点M.(1)求证:∠BAM=∠BMA;(2)记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C,F1、F2为

题目简介

过抛物线x2=2y上两点A(-1,12)、B(2,2)分别作抛物线的切线,两条切线交于点M.(1)求证:∠BAM=∠BMA;(2)记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C,F1、F2为

题目详情

过抛物线x2=2y上两点A(-1,
1
2
)、B(2,2)分别作抛物线的切线,两条切线交于点M.
(1)求证:∠BAM=∠BMA;
(2)记过点A、B且中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线为C,F1、F2为C的两个焦点,B1、B2为C的虚轴的两个端点,过点B2作直线PQ分别交C的两支于P、Q,当
PB1
QB1
∈(0,4]时,求直线PQ的斜率k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:成都二模

答案

(1)∵y=class="stub"1
2
x2,
∴y'=x,
切于点A(-1,class="stub"1
2
)的切线方程为y-class="stub"1
2
=-(x+1),
切于点B(2,2)的切线方程为y-2=2(x-2),
联立解得M(class="stub"1
2
,-1),
∵|BA|=|BM|,
∴∠BAM=∠BMA.
(2)设双曲线方程为mx2-ny2=1,
由题意,有m-class="stub"1
4
n=1且4m-4n=1,
解得m=class="stub"5
4
,n=1,
∴双曲线方程为class="stub"5
4
x2-y2=1,
不妨设B1(0,1),B2(0,-1),
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
PB1
=(-x1,1-y1),
QB1
=(-x2,1-y2),
PB1
QB1
=x1x2+1-(y1+y2)+y1y2∈(0,4].
设直线PQ的方程为y=kx-1(k必存在),
y=kx-1
5x2
4
-y2=1

得(class="stub"5
4
-k2)x2+2kx-2=0
△=4k2+8(class="stub"5
4
-k2)>0
x1+x2=class="stub"8k
4k2-5
,x1x2=class="stub"8
4k2-5

PB1
QB1
=x1x2+1-(y1+y2)+y1y2
=x1x2+1-k(x1+x2)+2+k2x1x2-k(x1+x2)+1
将x1+x2=class="stub"8k
4k2-5
,x1x2=class="stub"8
4k2-5
代入,
PB1
QB1
=class="stub"8
4k2-5
+1-k•class="stub"8k
4k2-5
+2+k2•class="stub"8
4k2-5
-k•
class="stub"8k
4k2-5
+1

=
8-8k2
4k2-5
+4

=
8k2-12
4k2-5

PB1
QB1
=
8k2-12
4k2-5
∈(0,4],
即0<
8k2-12
4k2-5
≤4,
8k2-12
4k2-5
>0
8k2-12
4k2-5
≤4
 
 

由①得k2≤class="stub"5
4
,或k2>class="stub"3
2

由②得k2≤1,或k2>class="stub"5
4

故k2≤1,或k2>class="stub"3
2

解得k∈(-∞,-
6
2
)∪[-1,1]∪(
6
2
,+∞
).

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