已知函数f(x)=x3﹣ax2+(a2﹣1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y﹣3=0.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)在区间[﹣2

题目简介

已知函数f(x)=x3﹣ax2+(a2﹣1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y﹣3=0.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)在区间[﹣2

题目详情

已知函数f(x)=x3﹣ax2+(a2﹣1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y﹣3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)在区间[﹣2,4]上的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:山东省期末题

答案

解:(1)f′(x)=x2﹣2ax+a2﹣1,
∵(1,f(1))在x+y﹣3=0上,
∴f(1)=2,
∵(1,2)在y=f(x)上,
∴2=﹣a+a2﹣1+b,
又f′(1)=﹣1,
∴a2﹣2a+1=0,
解得a=1,b=
(2)∵f(x)=x3﹣x2+
∴f′(x)=x2﹣2x,
由f′(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点,所以有

所以f(x)的单调递增区间是(﹣∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是(0,2).
∵f(0)=,f(2)=,f(﹣2)=﹣4,f(4)=8,
∴在区间[﹣2,4]上的最大值为8

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