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已知关于x的函数f（x）=13x3+bx2+cx+bc，其导函数为f+（x）．令g（x）=|f+（x）|，记函数g（x）在区间[-1、1]上的最大值为M．（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值-43，

题目简介

已知关于x的函数f（x）=13x3+bx2+cx+bc，其导函数为f+（x）．令g（x）=|f+（x）|，记函数g（x）在区间[-1、1]上的最大值为M．（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值-43，

题目详情

已知关于x的函数f（x）=
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x3+bx2+cx+bc，其导函数为f+（x）．令g（x）=|f+（x）|，记函数g（x）在区间[-1、1]上的最大值为M．
（Ⅰ）如果函数f（x）在x=1处有极值-
4
3
，试确定b、c的值：
（Ⅱ）若|b|＞1，证明对任意的c，都有M＞2
（Ⅲ）若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：湖北

答案

（I）∵f'（x）=-x2+2bx+c，由f（x）在x=1处有极值-class="stub"4
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可得
f′(1)=-1+2b+c=0
f(1)=-class="stub"1
3
+b+c+bc=-class="stub"4
3

解得
b=1
c=-1
，或
b=-1
c=3

若b=1，c=-1，则f'（x）=-x2+2x-1=-（x-1）2≤0，此时f（x）没有极值；
若b=-1，c=3，则f'（x）=-x2-2x+3=-（x+1）（x-1）
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：
x（-∞，-3）-3（-3，1）1（1，+∞）
f'（x）-0+0-
f（x）↘极小值-12↗极大值-class="stub"4
3
↘
∴当x=1时，f（x）有极大值-class="stub"4
3
，故b=-1，c=3即为所求．

（Ⅱ）证法1：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）2+b2+c|
当|b|＞1时，函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1.1]之外．
∴f'（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得
故M应是g（-1）和g（1）中较大的一个，
∴2M≥g（1）+g（-1）=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|＞4，即M＞2

证法2（反证法）：因为|b|＞1，所以函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]之外，
∴f'（x）在[-1，1]上的最值在两端点处取得．
故M应是g（-1）和g（1）中较大的一个
假设M≤2，则M=maxg{（-1），g（1），g（b）}
将上述两式相加得：4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|＞4，导致矛盾，∴M＞2

（Ⅲ）解法1：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）2+b2+c|
（1）当|b|＞1时，由（Ⅱ）可知f'（b）-f'（±1）=b（∓1）2≥0；
（2）当|b|≤1时，函数y=f'（x）的对称轴x=b位于区间[-1，1]内，
此时M=max{g（-1），g（1），g（b）}
由f'（1）-f'（-1）=4b，有f'（b）-f'（±1）=b（∓1）2≥0
①若-1≤b≤0，则f'（1）≤f'（-1）≤f'（b），∴g（-1）≤max{g（1），g（b）}，
于是M=max{|f′(1)，|f′(b)|}≥class="stub"1
2
(|f′(1)|+f′(b)|)≥class="stub"1
2
|f′(1)-f′(b)|=class="stub"1
2
(b-1)2≥class="stub"1
2

②若0＜b≤1，则f'（-1）≤f'（1）≤f'（b），∴g（1）≤maxg（-1），g（b）
于是M=max{|f′(-1)|，|f′(b)|}≥class="stub"1
2
(|f′(-1)|+|f′(b)|)≥class="stub"1
2
|f′(-1)-f′(b)|=class="stub"1
2
(b+1)2＞class="stub"1
2

综上，对任意的b、c都有M≥class="stub"1
2

而当b=0，c=class="stub"1
2
时，g(x)=|-x2+class="stub"1
2
|在区间[-1，1]上的最小值M=class="stub"1
2

故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为class="stub"1
2
．
解法2：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）2+b2+c|
（1）当|b|＞1时，由（Ⅱ）可知M＞2
（2）当|b|≤1
y=f'（x）时，函数的对称轴x=b位于区间[-1，1]内，
此时M=max{g（-1），g（1），g（b）}
4M≥g（-1）+g（1）+2g（h）=|-1-2b+c|+|-1+2b+c|+2|b2+c|≥|-1-2b+c+（-1+2b+c）-2（b2+c）|=|2b2+2|≥2，
即M≥class="stub"1
2

下同解法1

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