已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切,且与定圆x2+(y-1)2=1内切,记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设斜率为22的直线与曲线E相切,求此时直线到原点的距离.-数学

题目简介

已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切,且与定圆x2+(y-1)2=1内切,记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设斜率为22的直线与曲线E相切,求此时直线到原点的距离.-数学

题目详情

已知圆心为P的动圆与直线y=-2相切,且与定圆x2+(y-1)2=1内切,记点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设斜率为2
2
的直线与曲线E相切,求此时直线到原点的距离.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)设圆心P(x,y),∵圆P与直线y=-2相切,∴圆P的半径R=|y+2|.
又∵原P与定圆x2+(y-1)2=1内切,
∴|y+2|-1=}FP|,∴|y+1|=|FP|,
∴点P到定直线y=-1与到定点F(0,1)的距离相等,
∴点P的轨迹是抛物线x2=4y.即曲线E的方程为x2=4y.
(2)设斜率为2
2
的直线与曲线E相切于点M(x0,y0).
由曲线E的方程为x2=4y,∴y=class="stub"x
2
,∴切线的斜率为
x0
2

x0
2
=2
2
,即x0=4
2
,∴y0=
(4
2
)2
4
=8,
∴切点为(4
2
,8)

∴切线方程为y-8=2
2
(x-4
2
)
,化为2
2
x-y-8=0

∴原点到此切线的距离d=
|0-0-8|
(2
2
)2+(-1)2
=class="stub"8
3

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