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> 已知函数的极大值点为x=﹣1.(1)用实数a来表示实数b,并求a的取值范围;(2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为,求a的值;(3)设A(﹣1,f(﹣1)),B(2,f(2)),A,B两点的连
已知函数的极大值点为x=﹣1.(1)用实数a来表示实数b,并求a的取值范围;(2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为,求a的值;(3)设A(﹣1,f(﹣1)),B(2,f(2)),A,B两点的连
题目简介
已知函数的极大值点为x=﹣1.(1)用实数a来表示实数b,并求a的取值范围;(2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为,求a的值;(3)设A(﹣1,f(﹣1)),B(2,f(2)),A,B两点的连
题目详情
已知函数
的极大值点为x=﹣1.
(1)用实数a来表示实数b,并求a的取值范围;
(2)当x∈[﹣1,2]时,f(x)的最小值为
,求a的值;
(3)设A(﹣1,f(﹣1)),B(2,f(2)),A,B两点的连线斜率为k.求证:必存在x
0
∈(﹣1,2),使f'(x
0
)=k.
题型:解答题
难度:中档
来源:四川省月考题
答案
解:(1)f'(x0)=x2+2ax+b,由题设知f'(﹣1)=0
∴b=2a﹣1
韦达定理得另一极值点x=﹣b=1﹣2a,因为x=﹣1为极大值点
故1﹣2a>﹣1,
∴a<1
(2)f(x)在(﹣∞,﹣1)上递增,在(﹣1,1﹣2a)递减,在(1﹣2a,+∞)上递增,
故当x∈[﹣1,2]时,分情况如下:
①1﹣2a≥2,即
时,f(x)在x∈[﹣1,2]上单调递减
∴
,解得
,不合条件,舍去
②1﹣2a<2,即
时,
∴
∴
,化简得a(2a﹣3)2=0,a=0或
,取a=0
综上,故所求的a=0
(3)
,即证x02+2ax0+b=3a
即证方程x2+2ax﹣a﹣1=0(a<1)在x∈(﹣1,2)上有实数解
记g(x)=x2+2ax﹣a﹣1=0(a<1),
g(﹣1)=﹣3a,g(2)=3a+3
①当g(﹣1)g(2)=﹣3a(a+1)<0,即a<﹣1或0<a<1时,
由零点存在定理知此时方程有解
②a<0时,此时△=4(a2+a+1)>0,g(2)>0,g(﹣1)>0,且二次函数g(x)的对称轴x=﹣a∈(0,1)
(﹣1,2),由此可知此时方程在(﹣1,2)内有两个解
③a=﹣1时方程有一根为x=0,当a=0时方程有一根为x=1
综上可知,方程x2+2ax﹣a﹣1=0(a<1)在x∈(﹣1,2)上有实数解.
即必存在x0∈(﹣1,2),使f'(x0)=k.
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已知f(x)=Inx,g(x)=+mx+(m<0),直线l与函
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