已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值.
题型:解答题难度:中档来源:福建

答案

函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=1-class="stub"a
x

(1)当a=2时,f(x)=x-2lnx,f(x)=1-class="stub"2
x
(x>0)

因而f(1)=1,f′(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),
即x+y-2=0
(2)由f(x)=1-class="stub"a
x
=class="stub"x-a
x
,x>0知:
①当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;
②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0.
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.

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