已知函数,且函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+3=0垂直.(I)求a的值;(II)证明:g(x)≤f(x)在x∈(0,+∞)内恒成立.-高三数学

题目简介

已知函数,且函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+3=0垂直.(I)求a的值;(II)证明:g(x)≤f(x)在x∈(0,+∞)内恒成立.-高三数学

题目详情

已知函数,且函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+3=0垂直.
(I)求a的值;
(II)证明:g(x)≤f(x)在x∈(0,+∞)内恒成立.
题型:解答题难度:中档来源:云南省模拟题

答案

解:(I)函数f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞), 
∴f′(1)=a
∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x+y+3=0垂直
∴f′(1)=1 ∴a=1;
(II)由(I)可得 
证明g(x)≤f(x)在x∈(0,+∞)内恒成立,
即 恒成立
∴只要证明lnx﹣x+1≤0(x>0)恒成立
构造函数h(x)=lnx﹣x+1(x>0)
 
令 
结合x>0,可得0<x<1,
令 ,结合x>0,可得x>1,
∴x=1处有极大值h(1)=0,且为最大值
∴lnx﹣x+1≤0在x∈(0,+∞)内恒成立
∴g(x)≤f(x)在x∈(0,+∞)内恒成立.

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