已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)(1)若函数f(x)在x=0,x=2处取得极值,且极小值为-2,求a,b的值.(2)若x∈[0,1],函数f(x)在图象上任意一点的切线的斜率为k,求k

题目简介

已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)(1)若函数f(x)在x=0,x=2处取得极值,且极小值为-2,求a,b的值.(2)若x∈[0,1],函数f(x)在图象上任意一点的切线的斜率为k,求k

题目详情

已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)
(1)若函数f(x)在x=0,x=2处取得极值,且极小值为-2,求a,b的值.
(2)若x∈[0,1],函数f(x)在图象上任意一点的切线的斜率为k,求k≤1恒成立时a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由f'(x)=3x2+2ax得x=0或x=-class="stub"2a
3

-class="stub"2a
3
=2
得a=-3.…(3分)
当0<x<2时,f'(x)<0,当x>2时f'(x)>0
故当x=2时f(x)取得极小值,f(2)=8+4a+b=-2
所以b=2…(6分)
(2)当x∈[0,1],k=f'(x)=3x2+2ax≤1恒成立,
即令g(x)=3x2+2ax-1≤0对一切x∈[0,1]恒成立,…(9分)
只需
g(0)=-1≤0
g(1)=2+2a≤0
即a≤-1
所以a的取值范围为(-∞,-1].…(12分)

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