已知函数f(x)=1+alnxx,(a∈R).(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;(2)在(1)条件下,若直线y=kx与函数y=f(x)的图象相切,求实数k的值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=1+alnxx,(a∈R).(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;(2)在(1)条件下,若直线y=kx与函数y=f(x)的图象相切,求实数k的值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
1+alnx
x
,(a∈R).
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;
(2)在(1)条件下,若直线y=kx与函数y=f(x)的图象相切,求实数k的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=class="stub"1+alnx
x

∴f′(x)=class="stub"a-1-alnx
x2

∵函数f(x)在x=1处取得极值
∴f′(1)=a-1=0
∴a=1
经检验,a=1时f′(x)=-class="stub"lnx
x2
故0<x<1时f′(x)>0,x>1时f′(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减故f(x)在x=1处取得极值.
∴a=1
(2)由(1)可知a=1
∴f(x)=class="stub"1+lnx
x

∴f′(x)=-class="stub"lnx
x2

设切点A(x0,y0)
∴k=f′(x0)=-
Inx0
x20

又∵k=kOA=
1+lnx0
x02

1+Inx0
x20
=-
Inx0
x20

∴lnx0=-class="stub"1
2

x0e-class="stub"1
2

∴k=kOA=
1+lnx0
x02
=
1-class="stub"1
2
(e-class="stub"1
2
)
2
=class="stub"e
2

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