已知函数.(I)求函数f(x)的单调区间和极值;(II)若x>0,均有ax(2﹣lnx)≤1,求实数a的取值范围.-高三数学

题目简介

已知函数.(I)求函数f(x)的单调区间和极值;(II)若x>0,均有ax(2﹣lnx)≤1,求实数a的取值范围.-高三数学

题目详情

已知函数
(I)求函数f(x)的单调区间和极值;
(II)若x>0,均有ax(2﹣lnx)≤1,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:河南省模拟题

答案

解:(I)依题意,x>0,f′(x)=
由f′(x)>0得
解得x
函数f(x)的单调增区间为(,+∞)
由f′(x)<0得
解得x
函数f(x)的单调减区间为(0,
∴当x=时,函数f(x)的极小值为f()=aln+a=a﹣alna
(II)设g(x)=ax(2﹣lnx)=2ax﹣axlnx,
则函数定义域为(0,+∞)
g′(x)=2a﹣(ax+alnx)=a(1﹣lnx)
由g′(x)=0,解得x=e,
由a>0可知,
当x∈(0,e)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减,
∴函数g(x)的最大值为g(e)=ae(2﹣lne)=ae
要使不等式恒成立,只需g(x)的最大值不大于1即可,
即g(e)≤1也即ae≤1,解得 a≤
又∵a>0
∴0<a≤

更多内容推荐