对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数)对任给的正数m,存在相应的x0∈D使得当x∈D且x>x0时,总有0<f(x)-h(x)<m0<h(x)-g(x

题目简介

对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数)对任给的正数m,存在相应的x0∈D使得当x∈D且x>x0时,总有0<f(x)-h(x)<m0<h(x)-g(x

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对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x),若存在函数h(x)=kx+b(k,b为常数)对任给的正数m,
存在相应的x0∈D使得当x∈D且x>x0时,总有
0<f(x)-h(x)<m
0<h(x)-g(x)<m
,则称直线l:y=ka+b为曲线y=f(x)和y=g(x)的“分渐进性”.给出定义域均为D={x|x>1}的四组函数如下:
①f(x)=x2,g(x)=
x
②f(x)=10-x+2,g(x)=
2x-3
x
③f(x)=
x2+1
x
,g(x)=
xlnx+1
lnx
④f(x)=
2x2
x+1
,g(x)=2(x-1-e-x
其中,曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是(  )
A.①④B.②③C.②④D.③④
题型:单选题难度:偏易来源:福建

答案

f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x→∞时,f(x)-g(x)→0.
对于①f(x)=x2,g(x)=
x
,当x>1时便不符合,所以①不存在;
对于②f(x)=10-x+2,g(x)=class="stub"2x-3
x
肯定存在分渐近线,因为当时,f(x)-g(x)→0;
对于③f(x)=
x2+1
x
,g(x)=class="stub"xlnx+1
lnx
f(x)-g(x)=class="stub"1
x
-class="stub"1
lnx

设λ(x)=x-lnx,λn(x)=class="stub"1
x2
>0,且lnx<x,
所以当x→∞时x-lnx越来愈大,从而f(x)-g(x)会越来越小,不会趋近于0,
所以不存在分渐近线;
对于④f(x)=
2x2
x+1
,g(x)=2(x-1-e-x),当x→0时,f(x)-g(x)=class="stub"-2
1+class="stub"1
x
+2+class="stub"2
ex
→0

因此存在分渐近线.故,存在分渐近线的是②④选C
故选C

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