在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到一条渐近线l的距离为4,若渐近线l恰好是曲线y=x3-3x2+2x在原点处的切线,则双曲线的标准方程为______.

题目简介

在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点到一条渐近线l的距离为4,若渐近线l恰好是曲线y=x3-3x2+2x在原点处的切线,则双曲线的标准方程为______.

题目详情

在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的焦点到一条渐近线l的距离为4,若渐近线l恰好是曲线y=x3-3x2+2x在原点处的切线,则双曲线的标准方程为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

f′(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为k.
切点是原点,k=f′(0)=2,所以所求曲线的切线方程为y=2x.
∵双曲线的一条渐近线方程是 y=2x,
class="stub"b
a
=2

又∵
|2c|
22+12
=
|2c|
5
=4

∴c=2
5
,∵c2=a2+b2
∴a2=4  b2=16
∴双曲线方程为
x2
4
-
y2
16
=1

故答案为
x2
4
-
y2
16
=1

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