已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=x2-2x,若对任意

题目简介

已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=x2-2x,若对任意

题目详情

已知函数f(x)=
1
2
ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵函数f(x)=class="stub"1
2
ax2-(2a+1)x+2lnx  (a∈R)

f′(x)=ax-(2a+1)+class="stub"2
x
(x>0).
∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,
∴f'(1)=f'(3),
a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+class="stub"2
3

解得a=class="stub"2
3

(Ⅱ)f′(x)=
(ax-1)(x-2)
x
(x>0).
①当a≤0时,x>0,ax-1<0,
在区间(0,2)上,f'(x)>0;
在区间(2,+∞)上f'(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,2),
单调递减区间是(2,+∞).
②当0<a<class="stub"1
2
时,class="stub"1
a
>2

在区间(0,2)和(class="stub"1
a
,+∞)
上,f'(x)>0;
在区间(2,class="stub"1
a
)
上f'(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(class="stub"1
a
,+∞)
,单调递减区间是(2,class="stub"1
a
)

③当a=class="stub"1
2
时,f′(x)=
(x-2)2
2x
,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
④当a>class="stub"1
2
时,0<class="stub"1
a
<2
,在区间(0,class="stub"1
a
)
和(2,+∞)上,f'(x)>0;
在区间(class="stub"1
a
,2)
上f'(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,class="stub"1
a
)
和(2,+∞),单调递减区间是(class="stub"1
a
,2)

(Ⅲ)由已知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max.
由已知,g(x)max=0,由(Ⅱ)可知,
①当a≤class="stub"1
2
时,f(x)在(0,2]上单调递增,
故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2,
所以,-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1,
ln2-1<a≤class="stub"1
2

②当a>class="stub"1
2
时,f(x)在(0,class="stub"1
a
]
上单调递增,
[class="stub"1
a
,2]
上单调递减,
f(x)max=f(class="stub"1
a
)=-2-class="stub"1
2a
-2lna

a>class="stub"1
2
可知lna>lnclass="stub"1
2
>lnclass="stub"1
e
=-1

2lna>-2,-2lna<2,
所以,-2-2lna<0,f(x)max<0,
综上所述,a>ln2-1.

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