已知函数f(x)=3x2+bx+1是偶函数,g(x)=5x+c是奇函数,数列{an}满足an>0,且a1=1,f(an+an+1)-g(an+1an+an2)=1.(1)求{an}的通项公式;(2)若

题目简介

已知函数f(x)=3x2+bx+1是偶函数,g(x)=5x+c是奇函数,数列{an}满足an>0,且a1=1,f(an+an+1)-g(an+1an+an2)=1.(1)求{an}的通项公式;(2)若

题目详情

已知函数f(x)=3x2+bx+1是偶函数,g(x)=5x+c是奇函数,数列{an}满足an>0,且a1=1,f(an+an+1)-g(an+1an+an2)=1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若{an}的前n项和为Sn,求
lim
n→∞
Sn.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵f(x)=3x2+bx+1是偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即3(-x)2+b(-x)+1=3x2+bx+1,b=0.
∴f(x)=3x2+1.
∵g(x)=5x+c是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),即5(-x)+c=-(5x+c),c=0.
∴g(x)=5x.
f(an+an+1)-g(an+1an+an2)=3(an+an+1)2+1-5(an+1an+an2)=1.
∴3an+12+anan+1-2an2=0.
(3an+1-2an)(an+1+an)=0.∴
an+1
an
=class="stub"2
3
.

∴数列{an}是以1为首项,class="stub"2
3
为公比的等比数列,
∴的通项公式为an=(class="stub"2
3
)
n-1
.

(2)由(I)可求得Sn=
1-(class="stub"2
3
)
n
1-class="stub"2
3
=3-3(class="stub"2
3
)n.∴
lim
n→∞
Sn=
lim
n→∞
[3-3(class="stub"2
3
)n]=3.

更多内容推荐