已知抛物线y=-x2+2引抛物线的切线l,使l与两坐标轴在第一象限围成三角形的面积最小,求l的方程.-数学

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已知抛物线y=-x2+2引抛物线的切线l,使l与两坐标轴在第一象限围成三角形的面积最小,求l的方程.-数学

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已知抛物线y=-x2+2引抛物线的切线l,使l与两坐标轴在第一象限围成三角形的面积最小,求l的方程.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

设切点P(x0,-x02+2)(x0>0),
由y=-x2+2得y′=-2x,
∴k1=-2x0.
∴l的方程为y-(-x02+2)=-2x0(x-x0).(4分)
令y=0,得x=
x02+2
2x0

令x=0,得y=x02+2,
∴三角形的面积为
S=class="stub"1
2
x02+2
2x0
•(x02+2)=
x04+4x02+4
4x0

S=
(3x02-2)(x02+2)
4x02

令S′=0,得x0=
6
3
(∵x0>0),
∴当0<x0<
6
3
时,S′<0;
当x0>
6
3
时,S′>0.
x0=
6
3
时,S取极小值.
∵只有一个极值,
∴x=
6
3
时S最小,此时k1=-
2
6
3
,切点为(
6
3
class="stub"4
3
).
∴l的方程为y-class="stub"4
3
=-
2
6
3
(x-
6
3
),
即2
6
x+3y-8=0

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