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> 已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)•3n.(Ⅰ)求limn→∞anSn;(Ⅱ)证明:a112+a222+…+ann2>3n.-数学
已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)•3n.(Ⅰ)求limn→∞anSn;(Ⅱ)证明:a112+a222+…+ann2>3n.-数学
题目简介
已知数列{an}的前n项和Sn=(n2+n)•3n.(Ⅰ)求limn→∞anSn;(Ⅱ)证明:a112+a222+…+ann2>3n.-数学
题目详情
已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=(n
2
+n)•3
n
.
(Ⅰ)求
lim
n→∞
a
n
S
n
;(Ⅱ)证明:
a
1
1
2
+
a
2
2
2
+…+
a
n
n
2
>3
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
(1)
lim
n→∞
a
n
S
n
=
lim
n→∞
S
n
-
S
n-1
S
n
=
lim
n→∞
(1-
S
n-1
S
n
)=1-
lim
n→∞
S
n-1
S
n
lim
n→∞
S
n-1
S
n
=
lim
n→∞
class="stub"n-1
n+1
•
class="stub"1
3
=
class="stub"1
3
,所以
lim
n→∞
a
n
S
n
=
class="stub"2
3
(6分)
(2)当n=1时,
a
1
1
2
=
S
1
=6>3
;
当n>1时,
a
1
1
2
+
a
2
2
2
+…+
a
n
n
2
=
S
1
1
2
+
S
2
-
S
1
2
2
+…+
S
n
-
S
n-1
n
2
=
(
class="stub"1
1
2
-
class="stub"1
2
2
)
S
1
+(
class="stub"1
2
2
-
class="stub"1
3
2
)
S
2
+…+(
class="stub"1
(n-1)
2
-
class="stub"1
n
2
)
S
n-1
+
class="stub"1
n
2
S
n
>
class="stub"1
n
2
S
n
=
n
2
+n
n
2
•
3
n
>
3
n
所以,n≥1时,
a
1
1
2
+
a
2
2
2
+…+
a
n
n
2
>
3
n
.(12分)
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若limx→1(ax-1-bx2-1)=12,则常
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(Ⅰ)求
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(2)当n=1时,
当n>1时,
=(
所以,n≥1时,