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已知a＞0，函数f（x）=ax2-x，g（x）=ln（ax）（1）若直线y=kx-1与函数f（x）、g（x）相切于同一点，求实数a，k的值；（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（x）成立，若存在，求

题目简介

已知a＞0，函数f（x）=ax2-x，g（x）=ln（ax）（1）若直线y=kx-1与函数f（x）、g（x）相切于同一点，求实数a，k的值；（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（x）成立，若存在，求

题目详情

已知a＞0，函数f（x）=ax2-x，g（x）=ln（ax）
（1）若直线y=kx-1与函数f（x）、g（x）相切于同一点，求实数a，k的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（x）成立，若存在，求出实数a的取值集合，不存在说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解（1）设g（x）的切点（x0，ln（ax0）），g′（x0）=class="stub"1
x0
=k，
∴g（x0）=ln（ax0）=kx0-1=0，∴ax0=1，
设f（x）切点（x0，f（x0）），f′（x0）=2ax0-1=k=1，∴a=x0=1，
∴a=k=1；
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ax2-x-ln（ax），即h（x）min≥0，
h′（x）=
2ax2-x-1
x
，令p（x）=2ax2-x-1，△=1+8a＞0，
所以p（x）=0有两不等根x1，x2，x1x2=-class="stub"1
2a
＜0，不妨令x1＜0＜x2，
所以h（x）在（0，x2）上递减，在（x2，+∞）上递增，
所以h（x2）=ax22-x2-ln(ax2)≥0成立，
因为p（x2）=2ax22-x2-1=0，所以ax2=
1+x2
2x2
，
所以h（x2）=
1-x2
2
-ln
1+x2
2x2
≥0，且x2=
1+
1+8a
4a
=class="stub"2
1+8a
-1
，
令k（x）=class="stub"1-x
2
-lnclass="stub"1+x
2x
=class="stub"1-x
2
+ln2x-ln(1+x)，
k′（x）=-
(x-1)(x+2)
2x(x+1)
，所以k（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
所以k（x2）≤k（1）=0，又h（x2）=
1-x2
2
-ln
1+x2
2x2
≥0，所以x2=1代入ax2=
1+x2
2x2
，a=1，
所以a∈{1}．

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