已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R),(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1

题目简介

已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R),(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;(2)求f(x)的单调区间;(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1

题目详情

已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R),
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。
题型:解答题难度:偏难来源:北京期末题

答案

解:
(1)由题意知f′(1)=f′(3),解得
(2)
①当a≤0时,x>0,ax-1<0,在区间(0,2)上,f′(x)>0;在区间(2,+∞)上,f′(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞);
②当时,,在区间(0,2)和上,f′(x)>0;在区间上,f′(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是
③当时,
故f(x)的单调递增区间是(0,+∞);
④当时,,在区间和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间上,f′(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是
(3)由题意知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max,
在(0,2]上,易得g(x)max=0,
由(2)可知,
①当时,f(x)在(0,2]上单调递增,
故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2,
所以,-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1,
故ln2-1<
②当时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,

可知,所以2lna>-2,-2lna<2,
所以,-2-2lna<0,f(x)max<0,故
综上所述,a>ln2-1.

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