已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=lnxx,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数),(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;(2)在(1)的条件下,求证:f(x)>g

题目简介

已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=lnxx,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数),(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;(2)在(1)的条件下,求证:f(x)>g

题目详情

已知a∈R,函数f(x)=ax-lnx,g(x)=
lnx
x
,x∈(0,e],(其中e是自然对数的底数,为常数),
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间与极值;
(2)在(1)的条件下,求证:f(x)>g(x)+
1
2

(3)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为3.若存在,求出a的值,若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f(x)=1-class="stub"1
x
=class="stub"x-1
x

∵x∈(0,e],
f(x)=class="stub"x-1
x
>0,得1<x<e,
∴增区间(1,e).
f(x)=class="stub"x-1
x
<0,得0<x<1.
∴减区间(0,1).
故减区间(0,1);增区间(1,e).
所以,f(x)极小值=f(1)=1.
(2)由(1)知f(x)=x-lnx在(0,e]上的最小值为f(1)=1,
∵g(x)=class="stub"lnx
x

g(x)=class="stub"1-lnx
x2

g(x)=class="stub"1-lnx
x2
>0,
解得0<x≤e,
∴g(x)在 (0,e]上为增函数,
∴g(x)max=g(e)=class="stub"1
e

∵1>class="stub"1
2
+class="stub"1
e

∴f(x)>g(x)+class="stub"1
2

(3)f(x)=a-class="stub"1
x
=class="stub"ax-1
x

①当a≤0时,f(x)在(0,e)上是减函数,
∴ae-1=3,a=class="stub"4
e
>0

②当0<a<class="stub"1
e
时,f(x)=class="stub"1
e
,f(x)在(0,e]上是减函数,
∴ae-1=3,a=class="stub"4
e
>class="stub"1
e

③当a≥class="stub"1
e
时,f(x)在(0,class="stub"1
a
]
上是减函数,(class="stub"1
a
,e)
是增函数,
aclass="stub"1
a
-lnclass="stub"1
a
=3
,a=e2,
所以存在a=e2.

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