设a为实数，函数f（x）=x|x2﹣a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．-高三数学

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设a为实数，函数f（x）=x|x²﹣a|．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

题型：解答题难度：中档来源：江苏期末题

答案

解：（1）当a=1时，f（x）=x|x2﹣1|．
∵x∈[﹣1，1]，
∴f（x）=﹣x3+x，则f′（x）=﹣3x2+1=﹣3（x﹣）（x+），
令f′（x）=0，得x=，x=-，
∵[﹣1，1]，
f（﹣1）=1﹣1=0，
f（﹣）=﹣（﹣）3﹣=，
f（）=，
f（1）=﹣1+1=0，
∴函数f（x）在x∈[﹣1，1]上的最小值为，最大值为．
（2）（i）当a=0时，f（x）=x3，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）．
（ii）当a＜0时，f（x）=x2﹣ax，
∵f′（x）=3x2﹣a＞0恒成立，
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
∴f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）．
（iii）当a＞0时，①当或时，f（x）=x3﹣ax，
因为f′（x）=3x2﹣a=3（x+）（x﹣），﹣，，
所以，当或时，f′（x）＞0，
从而f（x）的单调减区间为及．
②当﹣ 时，f（x）=﹣x3+ax， f′（x）=﹣3x2+a=﹣3 ，
令f′（x）=0，得，x=﹣ ，列表，得

综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为及， f（x）的单调减区间为．

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设a为实数，函数f（x）=x|x2﹣a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．-高三数学

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