已知函数f(x)=mx-lnx-3(m∈R).讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,存在x∈(0,+∞)使f(x)≤nx-4有解,求实数n的取值范围;(2)

题目简介

已知函数f(x)=mx-lnx-3(m∈R).讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,存在x∈(0,+∞)使f(x)≤nx-4有解,求实数n的取值范围;(2)

题目详情

已知函数f(x)=mx-lnx-3(m∈R).讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,存在x∈(0,+∞)使f(x)≤nx-4有解,求实数n的取值范围;
(2)当0<a<b<4且b≠e时,试比较
1-lna
1-lnb
 与 
a
b
的大小.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)f′(x)=m-class="stub"1
x
=class="stub"mx-1
x
 (x>0)

则f'(1)=m-1=0,∴m=1,∴f(x)=x-lnx-3
由题意知x-ln3-3≤nx-4在x∈(0,+∞)有解
n≥1-class="stub"lnx
x
+class="stub"1
x
有解,
g(x)=1-class="stub"lnx
x
+class="stub"1
x
,即n≥g(x)min,g′(x)=-class="stub"2-lnx
x2

则函数f(x)在区间(0,e2)上单调递减,在区间(e2,+∞)上单调递增.
g(x)min=g(e2)=1-class="stub"2
e2
+class="stub"1
e2
=1-class="stub"1
e2

n≥1-class="stub"1
e2

(2)由 (1)知g(x)=1+class="stub"1-lnx
x
在 (0,4)上是减函数
∵0<a<b<4,∴g(a)>g(b)
class="stub"1-lna
a
>class="stub"1-lnb
b
,∴b(1-lna)>a(1-lnb)
当0<b<e时,1-lnb>0,∴class="stub"1-lna
1-lnb
>class="stub"a
b

当e<b<4时,1-lnb<0,∴class="stub"1-lna
1-lnb
<class="stub"a
b

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