(1)设函数f(x)=xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x)(0<x<1),求f(x)的最小值;(2)设正数满足=1,求证:≥﹣n.-高三数学

题目简介

(1)设函数f(x)=xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x)(0<x<1),求f(x)的最小值;(2)设正数满足=1,求证:≥﹣n.-高三数学

题目详情

(1)设函数f(x)=xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x)(0<x<1),求f(x)的最小值;
(2)设正数满足=1,求证:
≥﹣n.
题型:解答题难度:中档来源:江苏期末题

答案

(1)解:对函数f(x)求导数:f'(x)=(xlnx)'+[(1﹣x)ln(1﹣x)]'=lnx﹣ln(1﹣x).
于是
在区间是减函数,
在区间是增函数.
所以时取得最小值,
(2)用数学归纳法证明.
(i)当n=1时,由(1)知命题成立.
(ii)假定当n=k时命题成立,即若正数,则
当n=k+1时,若正数

为正数,且
由归纳假定知
+lnx)≥x(﹣k)+xlnx,①同理,由可得
≥(1﹣x)(﹣k)+(1﹣x)n(1﹣x).
②综合①、②两式
≥[x+(1﹣x)](﹣k)+xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x)≥﹣(k+1).
即当n=k+1时命题也成立.根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立.

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