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> 设首项为a,公差为d的等差数列前n项的和为An,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn,其中a≠0,|r|<1.令Sn=G1+G2+…+Gn,若有limn→∞(Ann-Sn)=a,求r的值.-数
设首项为a,公差为d的等差数列前n项的和为An,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn,其中a≠0,|r|<1.令Sn=G1+G2+…+Gn,若有limn→∞(Ann-Sn)=a,求r的值.-数
题目简介
设首项为a,公差为d的等差数列前n项的和为An,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为Gn,其中a≠0,|r|<1.令Sn=G1+G2+…+Gn,若有limn→∞(Ann-Sn)=a,求r的值.-数
题目详情
设首项为a,公差为d的等差数列前n项的和为A
n
,又首项为a,公比为r的等比数列前n项和为G
n
,其中a≠0,|r|<1.令S
n
=G
1
+G
2
+…+G
n
,若有
lim
n→∞
(
A
n
n
-
S
n
)
=a,求r的值.
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
由题意知Gn=
a(1-
r
n
)
1-r
∴Sn=
class="stub"1
-1+r
•[a(
r
+
r
2
+
r
3
…+
r
n
)-(a+a+a…+a)]
=
class="stub"1
-1+r
(
ar(1-
r
n
)
1-r
-na)
=
class="stub"a
(-1+r)
2
[rn-r-n(-1+r)]
An=na+
n(n-1)
2
•d
∴
A
n
n
-
S
n
=
class="stub"1
n
[na+
n(n-1)
2
•d
]-
class="stub"a
(-1+r)
2
[rn-r-n(-1+r)]=a+
class="stub"n-1
2
•d
-
class="stub"a
(-1+r)
2
×(rn-r)-
class="stub"an
1-r
∵
lim
n→∞
(
A
n
n
-
S
n
)
=a,a≠0,|r|<1
所以:
class="stub"d
2
+
class="stub"a
r-1
=0且
class="stub"a
(1-r)
2
×r+a-
class="stub"d
2
=a,即
class="stub"a
(1-r)
2
×r-
class="stub"d
2
=0
∴
class="stub"a
(1-r)
2
×r+
class="stub"a
r-1
=0,整理得2r-1=0,解得r=
class="stub"1
2
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∴Sn=
=
=
An=na+
∴
∵
所以:
∴