首页 > 已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x1）=-f（x2），则x1=-x2②f（x）的最小正周期是2π；③f（x）在区间[-π4，π4]上是增函数；④f（x）的图象关

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x1）=-f（x2），则x1=-x2②f（x）的最小正周期是2π；③f（x）在区间[-π4，π4]上是增函数；④f（x）的图象关

题目简介

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x1）=-f（x2），则x1=-x2②f（x）的最小正周期是2π；③f（x）在区间[-π4，π4]上是增函数；④f（x）的图象关

题目详情

已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x1）=-f（x2），则x1=-x2            ②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-
π
4
，
π
4
]上是增函数；     ④f（x）的图象关于直线x=
3π
4
对称；
⑤当x∈[-
π
6
，
π
3
时，f（x）的值域为[-
3
4
，
3
4
]．
其中正确的命题为（　　）
A．①②④B．③④⑤C．②③D．③④
题型：单选题难度：中档来源：天津模拟

答案

由题意可得：f（x）=cosxsinx=class="stub"1
2
sin2x，
①f（class="stub"π
6
）=-f（class="stub"2π
3
），但是不满足x1=-x2，所以①错误．
②根据周期公式可得：f（x）=class="stub"1
2
sin2x的周期为π．所以②错误．
③f（x）=class="stub"1
2
sin2x的单调增区间为[kπ-class="stub"π
4
，kπ+class="stub"π
4
]，（k∈Z），显然③正确．
④f（x）=class="stub"1
2
sin2x的所有对称轴为x=class="stub"kπ
2
+class="stub"π
4
，显然④正确．
⑤f（x）=class="stub"1
2
sin2x，因为x∈∈[-class="stub"π
6
，class="stub"π
3
]时，所以2x∈[-class="stub"π
3
，class="stub"2π
3
]，所以sin2x∈[-
3
2
，1]，所以f（x）的值域为[-
3
4
，2]．所以⑤错误．
故选D．

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