设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk3=(Sk)3成立．-数学

题目简介

题目详情

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n，求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有Sk3=(Sk)3成立．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

若等差数列{an}满足Sk3=(Sk)3
则当k=1时，有s1=s13，∴a1=0或a1=1或a1=-1
当k=2时，有s8=s2 3，即8a1+class="stub"8×7

d=(2a1+d)3
（1）当a1=0时，代入上式得d=0或d=2

或d=-2

①当a1=0，d=0时，an=0，Sn=0
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{an}为：0，0，0…
②当a1=0，d=2

时，an=2

(n-1)，Sn=

n(n-1)

n(n-1)
S27≠(S3)3
∴不满足题意
③当a1=0，d=-2

时，an=-2

(n-1)，Sn=

-2

n(n-1)

= -

n(n-1)
S27≠(S3)3
∴不满足题意
（2）当a1=1时，代入上式得d=0或d=2或d=-8
①当a1=1，d=0时，an=1，Sn=n
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{an}为：1，1，1…
②当a1=1，d=2时，an=2n-1，Sn=n2
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{an}为：1，3，5…
③当a1=1，d=-8时，an=-8n+9，Sn=n（5-4n）
S27≠(S3)3
∴不满足题意
（3）当a1=-1时，代入上式得d=0或d=-2或d=8
①当a1=-1，d=0时，an=-1，Sn=-n
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{an}为：-1，-1，-1…
②当a1=-1，d=-2时，an=-2n+1，Sn=-n2
满足Sk3=(Sk)3
此时，数列{an}为：-1，-3，-5…
③当a1=-1，d=8时，an=8n-9，Sn=n（4n-5）
S27≠(S3)3
∴不满足题意
∴满足题意的等差数列{an}有：
①0，0，0…
②1，1，1…
③1，3，5…
④-1，-1，-1…
⑤-1，-3，-5…

上一篇 : 在小于100的正整数中共有_____
下一篇 : 在等差数列{an}中，a1=4，d=2，则a3=

设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk3=(Sk)3成立．-数学

题目简介

题目详情

答案

更多内容推荐