已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an<1.-高二数学

题目简介

已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)证明1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an<1.-高二数学

题目详情

已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)证明
1
a2-a1
+
1
a3-a2
+…+
1
an+1-an
<1.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)设等差数列{log2(an-1)}的公差为d.
由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,即d=1.
所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.
(II)证明:因为class="stub"1
an+1-an
=class="stub"1
2n+1-2n
=class="stub"1
2n

所以class="stub"1
a2-a1
+class="stub"1
a3-a2
+…+class="stub"1
an+1-an
=class="stub"1
21
+class="stub"1
22
+class="stub"1
23
+…+class="stub"1
2n
=
class="stub"1
2
-class="stub"1
2n
×class="stub"1
2
1-class="stub"1
2
=1-class="stub"1
2n
<1,
即得证.

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