数列{an}的各项均为正数，sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，sn，an2成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）正数数列{cn}中，an+1=(cn)n+1，（n∈N°）．求数

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数列{a_n}的各项均为正数，s_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，总有a_n，s_n，an2成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）正数数列{c_n}中，a_n+1=(cn)n+1，（n∈N°）．求数列{c_n}中的最大项．

题型：解答题难度：中档来源：广东模拟

答案

（Ⅰ）由已知：对于任意n∈N*，总有2sn=an+an2①成立
∴2sn-1=an+an-12（n≥2）②
①--②得2an=an+an2-an-1-an-12
∴an+an-1=（an+an-1）（an-an-1）
∵各项都均为正数，
∴an-an-1=1 （n≥2）
∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n=1时，2s1=a1+a12，解得a1=1
∴an=n．
（Ⅱ）由已知 a2=c12=2可得c1=

a3=c23=3可得，c2=

3	3

a4=c34=4可得c3=

4	4

a5=c45=5可得c4=

5	5

易得　c1＜c2＞c3＞c4
猜想 n≥2 时，{cn}是递减数列．
令f(x)=class="stub"lnx

∴f′(x)=

class="stub"1

•x-lnx

=class="stub"1-lnx

∵当x≥3时lnx＞1，则1-lnx＜0，即f‘（x）＜0
∴在[3，+∞）内f（x）为单调递减函数．
由an+1=(cn)n+1，可得cn=

ln(n+1)

n+1

．
∴n≥2 时，{lncn}是递减数列．即{cn}是递减数列．
又c1＜c2，
∴数列{cn}中的最大项为c2=

3	3

．

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数列{an}的各项均为正数，sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，sn，an2成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）正数数列{cn}中，an+1=(cn)n+1，（n∈N°）．求数

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