已知数列{an}满足a1=12，an=n2n2-1an-1+n2n+1（n≥2，n∈N*），数列{bn}的前n项和Sn，满足：Sn=23(bn-1)．（I）求数列{an}、{bn}的通项公式an，bn

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已知数列{a_n}满足a₁=

，a_n=

n2-1

an-1+

n+1

（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和Sn，满足：Sn=

(bn-1)．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式a_n，b_n；
（II）设cn=

an，①求数列{b_nc_n}前n项的和Tn，②求数列

coscncoscn+1

前n项的和A_n．

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）因为an=

n2-1

an-1+

n+1

（n≥2，n∈N*），
所以class="stub"n+1

an-class="stub"n

n-1

an-1=n，设dn=class="stub"n+1

an，
则dn-dn-1=n（n≥2，n∈N*），d1=1，
由累加法可得：dn=

n(n+1)

，故an=class="stub"1

n2
∵Sn=class="stub"2

(bn-1) ①，∴Sn+1=class="stub"2

(bn+1-1) ②
②-①得Sn+1-Sn=class="stub"2

(bn+1-bn)=bn+1，∴bn+1=-2bn
把n=1代入①式可得b1=-2，
∴bn=(-2)n
（II）由（I）可知cn=class="stub"2

an=class="stub"2

class="stub"1

n2=n
①bncn=n•（-2）n
∴Tn=1•(-2)+2•(-2)2+3•(-2)3+…+n•（-2）n
-2Tn=1•(-2)2+2•(-2)3+3•(-2)4+…+n•（-2）n+1
两式相减得：3Tn=1•(-2)+(-2)2+(-3)3+…+（-2）n-n•（-2）n+1
=

-2[1-(-2)N]

1-(-2)

-n•(-2)n+1=-class="stub"2

[1-(-2)n]-n•(-2)n+1
故所求数列的前n项和为：Tn=-class="stub"2

-class="stub"3n+1

(-2)n+1
②∵sin1=sin[（n+1）-n]=sin（n+1）cosn-cos（n+1）sinn
∴class="stub"1

coscncoscn+1

=class="stub"sin1

sin1cosncos(n+1)

sin(n+1)cosn-cos(n+1)sinn

sin1cosncos(n+1)

=class="stub"1

sin1

[tan(n+1)-tann]
故所求数列的前n项和为：
An=class="stub"1

sin1

[（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+（tan（n+1）-tann）]
=class="stub"1

sin1

[tan（n+1）-tann]

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已知数列{an}满足a1=12，an=n2n2-1an-1+n2n+1（n≥2，n∈N*），数列{bn}的前n项和Sn，满足：Sn=23(bn-1)．（I）求数列{an}、{bn}的通项公式an，bn

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