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已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=xbx+1（x＞0），数列{an}满足a1=a，1an+1=f(1an)（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足

题目简介

已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=xbx+1（x＞0），数列{an}满足a1=a，1an+1=f(1an)（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足

题目详情

已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
x
bx+1
（x＞0），数列{an}满足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵class="stub"1
an+1
=f(class="stub"1
an
)=
class="stub"1
an
bclass="stub"1
an
+1
=class="stub"1
an+b

∴an+1=an+b，∴数列{an}是以b为公差的等差数列
∵a1=a，∴an=a+（n-1）b
（2）当a=8b时，an=（n+7）b
∴b1=8b，b2=12b，∴q=class="stub"3
2
，∴bn=8b•(class="stub"3
2
)n-1
∴b3=18b，b4=27b，b5=class="stub"81
2
b
显然，class="stub"81
2
不是整数，即b5∉{an}，∴{bn}是项数最多为4的有穷数列
（3）∵b2=（m+7）b，∴q=class="stub"m+7
8
，此时bn=8(class="stub"m+7
8
)n-1b
i）当m=8k+1（k∈N）时，class="stub"m+7
8
=k+1为正整数，
此时{bn}中每一项均为{an}中的项，∴{bn}为无穷数列；
ii）当m=8k+5（k∈N）时，class="stub"m+7
8
=class="stub"2k+3
2

此时当n=1，2，3，4，8(class="stub"2k+3
2
)n-1为大于8的正整数，
但n=5时，8(class="stub"2k+3
2
)4不是正整数，∴此时{bn}是项数最多为4的有穷数列；
iii）当m=8k+2，+3，+4，+6，+7，+8（k∈N）时，
此时class="stub"m+7
8
为分母是4或8的最简分数，
只有当n=1，2时，8(class="stub"2k+3
2
)n-1才是大于8的正整数，
而当n≥3时，8(class="stub"2k+3
2
)n-1均为分数，∵{bn}仅有两项，∴此时{bn}不能构成等比数列．

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