已知函数f(x)=-2sin(2x+π4)+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.-数学

题目简介

已知函数f(x)=-2sin(2x+π4)+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.-数学

题目详情

已知函数f(x)=-
2
sin(2x+
π
4
)+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,
π
2
]
上的最大值和最小值.
题型:解答题难度:中档来源:天津

答案

(I)∵sinxcosx=class="stub"1
2
sin2x,cos2x=class="stub"1
2
(1+cos2x)
∴f(x)=-
2
sin(2x+class="stub"π
4
)+6sinxcosx-2cos2x+1=-sin2x-cos2x+3sin2x-(1+cos2x)+1
=2sin2x-2cos2x=2
2
sin(2x-class="stub"π
4

因此,f(x)的最小正周期T=class="stub"2π
2
=π;
(II)∵0≤x≤class="stub"π
2
,∴-class="stub"π
4
≤2x-class="stub"π
4
class="stub"3π
4

∴当x=0时,sin(2x-class="stub"π
4
)取得最小值-
2
2
;当x=class="stub"3π
8
时,sin(2x-class="stub"π
4
)取得最大值1
由此可得,f(x)在区间[0,class="stub"π
2
]
上的最大值为f(class="stub"3π
8
)=2
2
;最小值为f(0)=-2.

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