已知△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若4sin2B+C2-cos2A=72,b+c=3a,求A、B、C的大小.-数学

题目简介

已知△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若4sin2B+C2-cos2A=72,b+c=3a,求A、B、C的大小.-数学

题目详情

已知△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,若4sin2
B+C
2
-cos2A=
7
2
,b+c=
3
a
,求A、B、C的大小.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

∵4sin2class="stub"B+C
2
-cos2A=class="stub"7
2

即4
1-cos(B+C)
2
-(2cos2A-1)=class="stub"7
2

∴2+2cosA-2cos2A+1=class="stub"7
2

即2cos2A-2cosA+class="stub"1
2
=0
解得cosA=class="stub"1
2

∵A∈(0,π)
∴A=class="stub"π
3

又b+c=
3
a
,由正弦定理得:sinB+sinC=
3
sinA=class="stub"3
2

∴sin(class="stub"2π
3
-C)+sinC=class="stub"3
2

∴sin(C+class="stub"π
6
)=
3
2

∴C+class="stub"π
6
=class="stub"π
3
,或C+class="stub"π
6
=class="stub"2π
3

∴C=class="stub"π
6
,或C=class="stub"π
2

∴A=class="stub"π
3
,B=class="stub"π
6
,C=class="stub"π
2
,或A=class="stub"π
3
,B=class="stub"π
2
,C=class="stub"π
6

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