已知方程x2-(2cos20°)x+(cos220°-12)=0（1）证明：方程有两个相异的实数根．（2）若sinα，sinβ是该方程的两根，且α，β是锐角，求α与β．-数学

题目简介

已知方程x2-(

cos20°)x+(cos220°-

)=0（1）证明：方程有两个相异的实数根．（2）若sinα，sinβ是该方程的两根，且α，β是锐角，求α与β．

题型：解答题难度：中档来源：不详

证明：(1)△=(

cos20°)2-4(cos220°-class="stub"1

)=2cos220°-4cos220°+2=2(1-cos220°)=2sin220°＞0
∴方程有两个相异的实数根．
（2）∵sinα，sinβ是该方程的两根∴

sinα+sinβ=

cos20°

sinαsinβ=cos220°-class="stub"1

将（1）2-（2）×2得：（sinα+sinβ）2-2sinαsinβ=1∴sin2α+sin2β=1∴sin2α=cos2β
∵α，β是锐角，∴sinα=cosβ，∴α=90°-β
代入（1）得：sin(90°-β)+sinβ=

cos20°∴

sin(45°+β)=

sin70°，
∴45°+β=70°或110°
∴β=25°或β=65°，
于是

α=25°

β=65°

或

α=65°

β=25°