首页 > 已知△ABC的外接圆半径R为6，面积为S，a、b、c分别是角A、B、C的对边设S=a2-(b-c)2，sinB+sinC=43．（I）求sinA的值；（II）求△ABC面积的最大值．-数学

已知△ABC的外接圆半径R为6，面积为S，a、b、c分别是角A、B、C的对边设S=a2-(b-c)2，sinB+sinC=43．（I）求sinA的值；（II）求△ABC面积的最大值．-数学

题目简介

已知△ABC的外接圆半径R为6，面积为S，a、b、c分别是角A、B、C的对边设S=a2-(b-c)2，sinB+sinC=43．（I）求sinA的值；（II）求△ABC面积的最大值．-数学

题目详情

已知△ABC的外接圆半径R为6，面积为S，a、b、c分别是角A、B、C的对边设S=a2-(b-c)2，sinB+sinC=
4
3
．
（I）求sinA的值；
（II）求△ABC面积的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）由S=class="stub"1
2
bcsinA，又S=a2-（b-c）2，
可得：class="stub"1
2
bcsinA=a2-（b2-2bc+c2）=2bc-（b2+c2-a2）=2bc-2bccosA，又bc≠0，
变形得：class="stub"1
4
=class="stub"1-cosA
sinA
，即cosA=1-class="stub"1
4
sinA，
两边平方得：cos2A=（1-class="stub"1
4
sinA）2，又sin2A+cos2A=1，
可得1-sin2A=1-class="stub"1
2
sinA+class="stub"1
16
sin2A，即class="stub"17
16
sin2A-class="stub"1
2
sinA=0，
又sinA≠0，
∴sinA=class="stub"8
17
；
（II）由sinB+sinC=class="stub"4
3
，
根据正弦定理class="stub"b
sinB
=class="stub"c
sinC
=2R，可得class="stub"b
2R
+class="stub"c
2R
=class="stub"4
3
，又∵R=6，∴b+c=16，
∴S=class="stub"1
2
bcsinA=class="stub"4
17
bc≤class="stub"4
17
(class="stub"b+c
2
)2=class="stub"256
17
，当且仅当b=c=8时，Smax=class="stub"256
17
，
此时sinB=sinC=class="stub"2
3
∴sinA=sin(B+C)=
4
5
9
(≠class="stub"8
17
)与第一问矛盾，
由a=2RsinA=2×6×class="stub"8
17
=class="stub"96
17
，且b+c=16，
根据余弦定理a2=b2+c2-2bc•cosA得：bc=class="stub"1012
17
，
此时S=class="stub"1
2
bcsinA=class="stub"4048
289
，
则△ABC面积的最大值为class="stub"4048
289
．

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