首页 > 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2-bc，（Ⅰ）求：2sinBcosC-sin（B-C）的值；（Ⅱ）若b+c=2，设BC的中点为E，求线段AE长度的最小值．-数

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2-bc，（Ⅰ）求：2sinBcosC-sin（B-C）的值；（Ⅱ）若b+c=2，设BC的中点为E，求线段AE长度的最小值．-数

题目简介

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2-bc，（Ⅰ）求：2sinBcosC-sin（B-C）的值；（Ⅱ）若b+c=2，设BC的中点为E，求线段AE长度的最小值．-数

题目详情

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2-bc，
（Ⅰ）求：2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（Ⅱ）若b+c=2，设BC的中点为E，求线段AE长度的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）∵b2+c2=a2-bc，∴a2=b2+c2+bc，
结合余弦定理知cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
b2+c2-(b2+c2-bc) 
2bc
=-class="stub"1
2
，
又A∈（0，π），∴A=class="stub"2π
3

∴B+C=class="stub"π
3

∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sinclass="stub"π
3
=
3
2
；
（II）根据题意知
AE
=class="stub"1
2
（
AB
+
AC
）
∴
AE
2=class="stub"1
4
（
AB
2+
AC
2+2
AB
•
AC
）
∴
AE
=class="stub"1
4
[c2+b2+2bc×（-class="stub"1
2
）]=class="stub"1
4
[（c+b）2-3bc]=class="stub"1
4
（4-3bc）
∵
bc
≤class="stub"b+c
2
=1
∴bc≤1（当且仅当b=c=1时等号成立）
∴（
AE
2）min=class="stub"1
4
（4-3）=class="stub"1
4

∴|
AE
|min=class="stub"1
2

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