已知函数f(x)=sin2x+asinxcosx-cos2x,且f(π4)=1(1)求常数a的值及f(x)的最小值;(2)当x∈[0,π2]时,求f(x)的单调增区间.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin2x+asinxcosx-cos2x,且f(π4)=1(1)求常数a的值及f(x)的最小值;(2)当x∈[0,π2]时,求f(x)的单调增区间.-数学

题目详情

已知函数f(x)=sin2x+asinxcosx-cos2x,且f(
π
4
)=1

(1)求常数a的值及f(x)的最小值;
(2)当x∈[0,
π
2
]
时,求f(x)的单调增区间.
题型:解答题难度:中档来源:武汉模拟

答案

(1)∵f(class="stub"π
4
)=1

sin2class="stub"π
4
+asinclass="stub"π
4
cosclass="stub"π
4
-cos2class="stub"π
4
=1

∴a=2
∴f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=
2
sin(2x-class="stub"π
4
)

2x-class="stub"π
4
=2kπ-class="stub"π
2
,k∈z,
x=kπ-class="stub"π
8
,k∈z时sin(2x-class="stub"π
4
)
取最小值-1,
从而f(x)取最小值-
2
.(6分)
(2)令2kπ-class="stub"π
2
≤2x-class="stub"π
4
≤2kπ+class="stub"π
2

kπ-class="stub"π
8
≤x≤kπ+class="stub"3
8
π
;k∈z
x∈[0,class="stub"π
2
]

∴f(x)在[0,class="stub"3
8
π]
上的单调递增(12分)

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