已知平面向量a=(2,2),b=(sinπ4x,cosπ4x),函数f(x)=a•b.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)将函数f(x)的图象上的所有的点向左平移1个单位长度,得到函数y=g(x)

题目简介

已知平面向量a=(2,2),b=(sinπ4x,cosπ4x),函数f(x)=a•b.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)将函数f(x)的图象上的所有的点向左平移1个单位长度,得到函数y=g(x)

题目详情

已知平面向量
a
=(
2
2
),
b
=(sin
π
4
x,cos
π
4
x),函数f(x)=
a
b

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)将函数f(x)的图象上的所有的点向左平移1个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)+k在(-2,4)上有两个零点,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)∵f(x)=
a
b
=
2
sinclass="stub"π
4
x+
2
cosclass="stub"π
4
x

=2(
2
2
sinclass="stub"π
4
x+
2
2
cosclass="stub"π
4
x)

=2sin(class="stub"π
4
x+class="stub"π
4
)

T=class="stub"2π
class="stub"π
4
=8.
∴函数f(x)的最小正周期为8.
(Ⅱ)依题意将函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到函数
y=g(x)=2sin[class="stub"π
4
(x+1)+class="stub"π
4
]
=2cosclass="stub"π
4
x

函数y=g(x)+k在(-2,4)上有两个零点,即函数y=g(x)与y=-k在x∈(-2,4)有两个交点,如图所示.
∴当0<-k<2,即-2<k<0,
∴实数k取值范围为-2<k<0.

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