已知函数f(x)=sin(x-π3)+3cos(x-π3).(1)求f(x)在[0,2π]上的单调递增区间;(2)设函数g(x)=(1+sinx)f(x),求g(x)的值域.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin(x-π3)+3cos(x-π3).(1)求f(x)在[0,2π]上的单调递增区间;(2)设函数g(x)=(1+sinx)f(x),求g(x)的值域.-数学

题目详情

已知函数f(x)=sin(x-
π
3
)+
3
cos(x-
π
3
).
(1)求f(x)在[0,2π]上的单调递增区间;
(2)设函数g(x)=(1+sinx)f(x),求g(x)的值域.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意得,f(x)=2[class="stub"1
2
sin(x-class="stub"π
3
)+
3
2
cos(x-class="stub"π
3
)]
=2sin(x-class="stub"π
3
+class="stub"π
3
)=2sinx,
∴f(x)在[0,2π]上的单调递增区间是:[0,class="stub"π
2
]
[class="stub"3π
2
,2π]

(2)由(1)得,g(x)=2sinx(1+sinx)=2sinx+2sin2x
设t=sinx,则t∈[-1,1],
∴h(t)=2t2+2t=2(t+class="stub"1
2
)2-class="stub"1
2

当t=-class="stub"1
2
时,函数取到最小值是:-class="stub"1
2

当t=1时,函数取到最大值是:4,
则g(x)的值域是[-class="stub"1
2
,4].

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