在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=sinA+sinBcosA+cosB.(1)求角C的大小;(2)若△ABC的外接圆直径为1,求a2+b2的取值范围.-数学

题目简介

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=sinA+sinBcosA+cosB.(1)求角C的大小;(2)若△ABC的外接圆直径为1,求a2+b2的取值范围.-数学

题目详情

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=
sinA+sinB
cosA+cosB

(1)求角C的大小;
(2)若△ABC的外接圆直径为1,求a2+b2的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)在△ABC中,∵tanC=class="stub"sinA+sinB
cosA+cosB
,∴class="stub"sinC
cosC
=class="stub"sinA+sinB
cosA+cosB

化简可得 sinCcosA-cosCsinA=sinBcosC-cosBsinC,即 sin(C-A)=sin(B-C).
∴C-A=B-C,或者C-A=π-(B-C) (不成立,舍去),即 2C=A+B,∴C=class="stub"π
3

(2)由于C=class="stub"π
3
,设A=class="stub"π
3
+α,B=class="stub"π
3
-α,-class="stub"π
3
<α<class="stub"π
3

由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA,b=2rsinB=sinB,
∴a2+b2=sin2A+sin2B=class="stub"1-cos2A
2
+class="stub"1-cos2B
2
=1-class="stub"1
2
[cos(class="stub"2π
3
+2α)+cos(class="stub"2π
3
-2α)]
=1+class="stub"1
2
cos2α.
由-class="stub"2π
3
<2α<class="stub"2π
3
,可得-class="stub"1
2
<cos2α≤1,∴class="stub"3
4
<1+class="stub"1
2
cos2α≤class="stub"3
2
,即a2+b2的取值范围为 (class="stub"3
4
class="stub"3
2
].

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