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已知函数f(x)=sinωx•cosωx+3cos2ωx-32（ω＞0），直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为π4．（I）求f（x）的表达式；（Ⅱ）将函

题目简介

已知函数f(x)=sinωx•cosωx+3cos2ωx-32（ω＞0），直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为π4．（I）求f（x）的表达式；（Ⅱ）将函

题目详情

已知函数f(x)=sinωx•cosωx+
3
cos2ωx-
3
2
（ω＞0），直线x=x1，x=x2是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1-x2|的最小值为
π
4
．
（I）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移
π
8
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，
π
2
]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ） f(x)=class="stub"1
2
sin2ωx+
3
class="stub"1+cos2ωx
2
-
3
2
=class="stub"1
2
sin2ωx+
3
2
cos2ωx=sin(2ωx+class="stub"π
3
)，-------（3分）
由题意知，最小正周期T=2×class="stub"π
4
=class="stub"π
2
，又T=class="stub"2π
2ω
=class="stub"π
ω
=class="stub"π
2
，所以ω=2，
∴f(x)=sin(4x+class="stub"π
3
)．-------------（6分）
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个class="stub"π
8
个单位后，得到 y=sin[4(x-class="stub"π
8
)+class="stub"π
3
]=sin(4x-class="stub"π
6
)的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin(2x-class="stub"π
6
)的图象，所以g(x)=sin(2x-class="stub"π
6
)．---------（9分）
令2x-class="stub"π
6
=t，∵0≤x≤class="stub"π
2
，∴-class="stub"π
6
≤t≤class="stub"5
6
π，g（x）+k=0，在区间[0，class="stub"π
2
]上有且只有一个实数解，
即函数y=g（x）与y=-k在区间[0，class="stub"π
2
]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知-class="stub"1
2
≤-k＜class="stub"1
2
或-k=1
∴-class="stub"1
2
＜k≤class="stub"1
2
，或k=-1．--------（12分）

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